¿Dónde me coloco?

La ronda de presos, es un cuadro que Vincent van Gogh pintó en 1890, durante su estancia voluntaria en el sanatorio Saint-Rémy-de-Provence. Se trata de una interpretación del grabado London: A pilgrimage de Gustave Doré.

En el lienzo se ven 33 presos que caminan en círculo en el patio de la prisión bajo la mirada de tres personas. El cuadro sirvió de excusa en la clase, para plantear un problema de posición: el problema de Flavio Josefo. La adaptación a este cuadro, tal como se presentó al alumnado fue la siguiente:

“Imagina que tú estás entre los presos. Ha llegado una notificación del gobernador de la prisión para que uno se salve, pero la manera de seleccionar al afortunado va a seguir un procedimiento curioso:

Empezando por el preso rubio (1)  que mira al frente, este toca al preso que tiene delante, el 2,  y eso ya condena al 2 a quedarse en la cárcel. A continuación el 3, que no ha sido tocado todavía, toca al que tiene delante (el 4) y este se queda… y así sucesivamente. Cuando llegue al 33, tocará al 1, que se quedará, y vuelta a empezar. El primero que todavía tiene posibilidades de ser liberado (en este caso el 3) toca al siguiente en sus mismas condiciones, es decir, el 5, y el 7 tocará al 9 y todo el proceso se repite hasta que haya uno que no haya sido tocado por nadie. Ese es el que saldrá libre.

¿En qué posición deberías colocarte para saber con seguridad que vas a ser el agraciado que saldrá libre?

¿Y si en lugar de 33 presos fueran 34 o 41 o 57 o 64 o n?”

Comenzando con casos más sencillos, van elaborando hipótesis sobre el lugar en el que hay que colocarse para eludir la cárcel:

  

Continúan con sus apreciaciones de la siguiente manera:

Una vez encontrados los patrones, la dificultad se centra en explicarlos y resumirlos en una expresión que permita saber la posición adecuada para salir airoso de este círculo.

2n + 1-2x

donde n representa el número de presos y x la potencia de 2 más cercana, por defecto, de n.

O bien:

El cuadro Ronda de presos, sirvió para plantear otros tipos de problemas que ya se han comentado en este blog: Uniendo puntos  y A trozos.

¡Al agua, patos! Sumas, estrategia y probabilidad en Infantil

¡Al agua, patos! es un sencillo juego de estrategia para niños de  3º Curso de Ed. Infantil (5 años). El grupo MatemaTICinfantil ha realizado una versión con el programa Geogebra , que está lista para usar con una pizarra digital interactiva, o una tableta, a través de un navegador, en la página:  https://www.geogebra.org/m/vxtmtddz

Para que un juego fomente los aprendizajes en matemáticas, debe cumplir ciertos requisitos, como plantear un reto, regirse por una reglas pactadas de antemano, enfrentar a, al menos, dos contrincantes, poner en práctica ciertos contenidos matemáticos, y tener un final distinto en cada partida. Este final dependerá de si se trata de un juego de azar (el final no depende de las acciones de los jugadores) o de estrategia (los jugadores irán decidiendo sus acciones buscando una estrategia ganadora). Lógicamente, en el aula de matemáticas resultan más interesantes estos últimos, ya que nos permiten abordar en estas edades tan tempranas, ciertos aspectos de la resolución de problemas.

¡Al agua patos! se enmarcaría en el segundo tipo. Se puede desarrollar con dos jugadores individuales o dos equipos de jugadores, y plantea un escenario en el que se muestra un río con sus dos orillas y diez de patos de dos colores: cinco amarillos y cinco rojos. En ambas orillas hay piedras numeradas del 1 al 12. Al comienzo del juego, los niños deben colocar sus patos en las piedras que deseen. Durante su desarrollo, un equipo lanza dos dados (se puede hacer de forma virtual, con los dados que ofrece la aplicación, o con dados reales) y suma los resultados. Si la piedra que lleva el número obtenido en la suma tiene un pato, éste se lanza al agua arrastrándolo manualmente al río. Después, el otro equipo desarrolla su turno de la misma manera. Gana el primer equipo que tenga todos sus patos en el agua. 

Como ya se habrá observado, la probabilidad de obtener los números del 1 al 12 mediante la suma de los valores obtenidos en los dados, no es la misma para todos. El 1 no saldrá nunca como suma de dos números mayores o iguales que uno, luego su probabilidad es cero, mientras que el siete y el ocho tienen una probabilidad mayor de salir. Por lo tanto, aunque el resultado de la suma depende solo de los valores que al azar salen en los dados, la colocación inicial de los patitos sobre las piedras tiene un carácter estratégico, que los niños deberán tener en cuenta para intentar ganar: a lo largo de las partidas verán que no es lo mismo colocar los patos en unos lugares que en otros,  irán desarrollando una estrategia ganadora en la colocación de los patos sobre las piedras.

La aplicación permite elaborar una representación gráfica de la frecuencia de los valores obtenidos en la sumas, en forma de gráfico de barras. Esta puede generarse automáticamente o pueden ser los propios jugadores los que vayan marcando, en cada turno, la suma que han obtenido, utilizando la herramienta lápiz de la aplicación. A lo largo de la partida se irá generando una gráfica con forma (aproximada, lógicamente) de campana de Gauss, que el maestro puede aprovechar para comentar con el alumnado estas propiedades de las sumas de los resultados de los dados.

Los contenidos trabajados con este juego incluyen la realización de sumas de números de 1 al 6 mediante cálculo mental (la aplicación no proporciona ninguna herramienta para facilitar la ejecución de las sumas, aunque puede proporcionarlas el maestro). Así mismo, el planteamiento contextualizado como un juego, y la existencia de estrategias ganadoras nos llevan a la incursión en el ámbito de la resolución de problemas.   

Por otra parte, la realización automática del gráfico de barras con los resultados de las sumas, y su análisis comentado con el profesor, nos permite introducir al alumnado en los conceptos más básicos de la probabilidad y de la representación gráfica de datos. Aunque estos contenidos suelen considerarse demasiado elevados para una etapa como la educación infantil, podemos ver a través de esta actividad que los niños de 5 años, para los que está planteada, son perfectamente capaces de entender la relación entre la frecuencia de los resultados y su estrategia en el juego.

En el siguiente vídeo se puede observar la puesta en marcha de la aplicación en un aula de 5 años de Educación Infantil.

Maneras de contar

Un clásico ejercicio de habilidad como el de construir castillos de naipes plantea un problema para llevar al aula: ¿Cuántas cartas son necesarias para construir un castillo de n pisos? 

Entre las respuestas recogidas sorprende cómo se ataca la manera de contar las cartas. Aunque en algunos casos son similares, el desarrollo para llegar al resultado final varía. Veamos algunas de ellas.

Empezando por la parte superior, que sería el piso nº 1, se va formando la estructura hacia abajo. Este alumno empieza con las dos cartas, si solo hubiese un piso. Al construir otro piso se necesitan dos parejas de cartas y otra más para que el primero apoye; al edificar el tercero, se necesitan dos cartas para soportar el segundo  además de las tres parejas que forman las construcciones de dicho piso, y así sucesivamente. Esta imagen lo ilustra:

Aparecen dos progresiones aritméticas: 2, 4, 6, …   y  0, 1, 2, …  Basta sumar los n primeros términos de cada una de ellas para obtener el número total de cartas necesario para edificar del castillo de n pisos.

S_{n}=\dfrac{2+2n}{2}n+\dfrac{0+n-1}{2}n=n(n+1)+\dfrac{n(n-1)}{2}=n(\dfrac{3n+1}{2})

Por ejemplo, tal como se ve en la imagen, en el caso de 10 pisos, da como resultado 10·31/2=155.

Otra alumna plantea el recuento de las cartas desde una perspectiva de sustracción. Partiendo de grupos de 3 cartas (las dos laterales y la base) en cada piso harían falta 3 por el número del piso, pero habría que quitar las cartas que están en las bases, que son una menos del piso en el que estamos contando. Según esto, el proceso sería:

De manera que generalizando, para n pisos tendríamos:

S_{n}=3(1+2+\cdots+n)-n= 3\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n(\dfrac{3n+1}{2})

Pero nos encontramos con otra manera de contar las cartas que nos lleva de nuevo a la solución del problema. El alumno que presenta esta solución  aporta esta imagen para su explicación:

Como se ve, no cuenta cuantas hay en cada piso y luego suma, sino que va añadiendo, no un piso, sino apoyándose en lo anterior, completa por el lateral. Siguiendo este proceso, de manera numérica:

En esta secuencia se ve el procedimiento que le lleva a la solución, de manera recurrente. Llamando An al número de cartas que forman un castillo de n pisos, se tiene que:

\left\{\begin{matrix} A_{n}=A_{n-1}+3(n-1)+2 \\ A_{1}=2 \end{matrix}\right.

 

¿Se te ocurre alguna otra manera de contar?

 

Un reloj analemático en Alfambra

Alfambra es una pequeña localidad turolense, perteneciente a la Comarca Comunidad de Teruel, situada a unos 25 kilómetros al norte e la capital.

Si bien hoy apenas alcanza los 500 habitantes, en el pasado cobró cierta importancia, en especial en la Edad Media, cuando su administración fue encomendada a diversas órdenes militares, a lo largo del proceso llamado de la Reconquista. 

En el año 2006, el municipio decidió plasmar el recuerdo de esta importante etapa de su historia de una manera ciertamente curiosa: incluir los escudos de las diferentes órdenes militares que habían pasado por Alfambra en el conjunto de un reloj analemático, construido junto a la Ermita de Santa Ana.

Vista satélite de reloj y de la Ermita de Santa Ana. Google Maps

Los relojes analemáticos, frecuentemente horizontales, constituyen un tipo de reloj de sol con la característica de que se construyen sin gnomon: la sombra la produce la propia persona que lee la hora.

Estos relojes se apoyan en una elipse, cuyo eje mayor se elige libremente y cuyo eje menor se clacula teniendo en cuanta la latitud del emplazamiento. En concreto

  Eje menor = Eje mayor x sen(latitud) 

Las horas de sol del día se representan sobre una elipse, cuyo eje mayor está en la línea Este – Oeste, y cuyo eje menor está en la Norte – Sur. Para la ubicación exacta de estas horas se tiene en cuenta la latitud del lugar. En concreto, el ángulo phi que forma cada hora con el eje mayor (t representa los distintos naturales que nos hacen ir avanzando en las horas) se obtiene: 

tg phi  = [tg(15º x t)/sen (latitud)]

Por otra parte, el lugar donde colocar el “gnomon” (nosotros mismos) se marca sobre el eje menor, sobre el que se marca una escala de fechas sobre el analema solar. Éste es la curva con forma de 8 asimétrico que se obtiene tomando la posición del sol desde el mismo lugar y a la misma hora a lo largo de todo un año.

Colocándonos de pie sobre la fecha actual, nuestra sombra nos dará la lectura de la hora solar:

El reloj analemático de Alfamra fue inaugurado en 2006. Está construido sobre un disco circular de mármol rojo. El eje mayor de la elipse trazada en su interior es de 8 metros, por lo que, teniendo en cuenta que la latitud del punto es 40º 33 13″, obtenemos una longitud para el eje menor de poco más de 5 metros.

Como ornamento al reloj, en las zonas del círculo exterior correspondientes a los diferentes puntos cardinales, se han colocado los escudos de las distintas órdenes militares vinculadas al territorio, con la salvedad del Norte y el Sur, dedicados al escudo de la localidad de Alfambra y al año de inauguración respectivamente. 

Al este aparece el escudo de la Orden del Temple, a continuación la Orden de Monte Gaudio, en el suroeste el de la Orden de Malta, en el oeste el de la Orden de Montesa, en el noroeste el de la Orden de Jerusalén y  en el noreste el de la Orden del Santo Redentor.

   

Más información en:

Turismo de la Comarca Comunidad de Teruel

A trozos

Continuando con el problema de la entrada anterior, se planteó a los alumnos contar cuántos trozos se van formando con los segmentos que parten el círculo. Es decir, dados n puntos sobre la circunferencia se trata de encontrar cuantos trozos generan los segmentos que aparecen al unir todos los puntos entre sí.

Este problema, propuesto por Leo Moser, aparece en el libro Circo matemático de Martin Gardner.

Para trabajarlo con los alumnos se les pidió que vieran qué ocurre con 5 puntos.

Y tal como podían esperar, siguiendo la serie observada en los casos anteriores: 2, 4, 8…, obtuvieron 16 trozos, lo que les llevó a generalizar rápidamente y dar como respuesta 32 en el caso de 6 puntos.

Animados a comprobarlo sobre un dibujo, se dieron cuenta que no pasaban de 31.

Llegados aquí se comentó la solución del problema que dio Leo Moser, nada evidente:

n+\binom{n}{4}+\binom{n-1}{2}

Una vez comprobados que los valores encontrados antes aparecían al sustitutir n por 2, 3, 4, 5 y 6, se les animó a comprobarlo con 7 puntos:

Siguiendo lo recogido en el libro Circo Matemático, se pidió a ver si podían encontrar  alguna relación entre estos valores que se obtienen y el triángulo aritmético. Y curiosamente, la hay:

Martin Gardner comenta sobre este problema: “No he podido averiguar dónde ni cuándo Moser publicó por primera vez este problema, pero en una carta suya me dice que debió ser hacia 1950, en Mathematics Magazine . Desde aquella fecha ha aparecido en numerosas publicaciones y libros, resuelto de diversas formas.”

Uniendo puntos

En estos días les propuse a los alumnos un problema muy conocido: ¿Cuántos segmentos se generan al unir entre sí 18 puntos colocados sobre una circunferencia?

Entre las respuestas enviadas, los procedimientos aportados para la resolución y generalización del problema, recorren tres vías: la recurrencia, la suma de los n primeros números naturales y la obtención de una expresión algebraica, el término general.

Una de las maneras de atacar  un problema como este consiste en empezar por casos sencillos. Así, una alumna fue poco a poco  aumentando el número de puntos y encontrando una recurrencia: “me di cuenta que la suma de puntos y líneas da el número de líneas del siguiente número de puntos”.

De esta manera resuelve el problema planteado con 18 puntos. Encontrar el número de segmentos para un número elevado de puntos supondría un buen rato de cálculos pero podría buscar una generalización del tipo  a_{n}=a_{n-1}+n-1, aunque  no lo hace.
En otro de los documentos presentados, otra alumna cambió el enfoque:

De la misma manera que antes, un número más elevado de puntos hubiera proporcionado un buen rato de cálculo de las sumas, que se podría evitar planteando la suma de los n primeros números naturales como solución que generaliza el problema: S_{n}=\frac{(n-1)n}{2}.

Y de nuevo, un cambio de enfoque nos lleva a una generalización del problema con este razonamiento:

No fueron casos únicos,  los alumnos se repartieron  estos caminos para dar respuesta al problema.

Carrera de ranas: un juego para el aula de Educación Infantil

El ciclo de 3 a 6 años de Educación Infantil destaca por el carácter integrado de sus contenidos. Entre los bloques que los describen, encontramos los aspectos que fundamentarán la construcción del conocimiento matemático de los alumnos en el futuro. De ahí la importancia que cobra esta etapa de la enseñanza.

Entre las orientaciones metodológicas que nos propone el currículo encontramos la conveniencia de utilizar el formato del juego para introducir las enseñanzas: ” el acercamiento de los niños a la realidad que empiezan a conocer debe ser un proceso global, que parta de las experiencias que van adquiriendo a través del juego […]

Así mismo, se destaca en el currículo la importancia de introducir al alumnado de esta etapa en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación. Pero también se nos indica el objetivo de “descubrir algunas relaciones matemáticas que pueden establecerse a través de la manipulación de diversos objetos”. 

Por todo ello, destacamos aquí la actividad de la web MatemaTICinfantil titulada Carrera de ranas ya que, apoyándose tanto en las TIC como en materiales manipulativos, y  empleando un formato de juego, trabaja contenidos matemáticos como los conteos, las medidas de longitudes con unidades arbitrarias, la formas geométricas básicas o la escritura (con o sin cifras) de cardinales. Además, simultáneamente se fomenta la comunicación verbal y el trabajo en equipo.

El juego se plantea en dos fases. En la primera se prima el uso de material manipulativo en grupos de tamaño medio.

 

En la segunda pone en práctica una aplicación desarrollada con Geogebra (https://www.geogebra.org/m/juwrqxav) en gran grupo. En esta fase, a través de las preguntas que plantee el profesor se puede trabajar la anticipación de los acontecimientos (¿Qué color tendría que salir para que este equipo ganara? ¿Cuál es el color más conveniente?…)

Este juego se ofrece como un taller del programa del Gobierno de Aragón Conexión Matemática, y viene descrito en el artículo  Entre mates anda el juego  del número 35 de la revista Entorno Abierto de la Sociedad Aragonesa “Pedro Sánchez Ciruelo” de Profesores de Matemáticas

Decorando un teorema

Esther Ferrer es una artista donostiarra que incorpora matemáticas en su obra. Como ella dice, ayuda a visualizar las matemáticas desde el arte. Realizó una serie de obras a partir de lo que se conoce como el teorema de Napoleón:

Si sobre los tres lados de un triángulo cualquiera ABC se construyen tres triángulos equiláteros, los centros de estos tres triángulos equiláteros forman un nuevo triángulo también equilátero.

Esta idea es un buen punto de partida para llevarlo a otros resultados matemáticos. Así que se propuso a los alumnos de 1º de bachillerato, emular la idea con el teorema Finsler-Hadwiger:

Si dos cuadrados tienen un vértice común (A), los centros de ambos cuadrados (J y K) y los puntos medios (H e I)  de los segmentos (BE y DF) que unen los vértices respectivos adyacentes al común forman otro cuadrado.

 

El primer paso fue  realizar la construcción con GeoGebra a partir del enunciado y comprobar que se cumple el teorema. A partir de ahí, buscando una disposición de los cuadrados a su gusto, los decoraron. Algunos de los  resultados presentados fueron estos:

 

Volver a las raíces

Hace más de dos años que no publicamos nada en MATRYC. Nuestra vida en internet ha estado ligada a blogs, hemos abierto, alimentado y mantenido varios de diversas temáticas, pero este es especial para nosotros, así que nos proponemos volver a nuestras raíces, y nada mejor, para no salirnos del tema que con algo de raíces… cuadradas.

No todo en Twitter es confrontación, hay mucha aportación de materiales, recursos, ideas… Una de ellas la encontramos a raíz de los programas educativos de TVE durante el confinamiento, en concreto en uno en el que se mostraba el algoritmo de la raíz cuadrada. Inmediatamente en la red social aparecieron muchos comentarios y uno de ellos (@carlosyedma) aportaba esta imagen:

Y ello llevó a preparar esta actividad con GeoGebra. Mueve el deslizador n:

La nueva funcionalidad Classroom de GeoGebra permitió ponerlo en práctica durante el confinamiento y ver en tiempo real cómo se trabajaba con ella.


Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima primera edición, también denominada 11.5, está organizado por @maytejromera a través de su blog Qué vamos a hacer hoy.

Jotas del UNO

En Rubielos de Mora, en la provincia de Teruel, se puede ver esta placa titulada la Jota del uno: