Medir el tiempo en Monteagudo del Castillo

Monteagudo del Castillo es una pequeña localidad situada a 1450 metros de altitud, sobre la Sierra de El Pobo, en Teruel. Es uno de los diez municipios que conforman el Parque Cultural del Chopo Cabecero del Alto Alfambra. Tierras altas y frías de una belleza inusual.

Allí, en las inmediaciones del pueblo, las inquietas gentes de la Asociación Amigos del Pairón de Monteagudo, en su afán de conservar e incrementar los elementos patrimoniales de la localidad, han construido un reloj de sol de gran tamaño. Iniciado en agosto y concluido en diciembre de 2020, se encuentra en la Loma de Santa Ana, y desde él se dispone de una vista espectacular del pueblo y del entorno.

Se trata de un reloj horizontal que tiene por cuadrante un semicírculo de 6 metros de radio, con un estilo de 3 metros de longitud, y cuyas horas las marcan estrellas mudéjares metálicas con números romanos.

 

 

Los relojes horizontales ubicados en el hemisferio norte orientan su estilo en dirección norte-sur, con el gnomon apuntando hacia la estrella Polar (norte). Por lo tanto, el estilo es paralelo al eje de rotación terrestre  . Monteagudo se encuentra a una latitud de 40º 27′ N, por lo que ese es el ángulo que el estilo forma con el cuadrante. 

En este tipo de relojes, la sombra completa del estilo está siempre alineada, a la misma hora, en cualquier momento del año. Por lo tanto las mismas líneas horarias, marcadas en este caso por barras metálicas que van de la base del estilo hacia las marcas de las horas, indican la hora en cualquier época del año. El gnomon (extremo del estilo) está afilado para una mejor indicación de la hora. 

Dado que el reloj de sol utiliza la sombra producida para la lectura de la hora, nos da una medida del tiempo verdadero. El día verdadero es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del Sol por el meridiano del lugar. Estamos hablando, lógicamente, del movimiento aparente del Sol. Como la órbita de la Tierra no es circular, sino elíptica, este movimiento aparente (visto desde la Tierra) no es uniforme. El resultado es que el Sol “va más rápido” en otoño e invierno que en primavera y verano.

Como el reloj de sol se basa en este día verdadero, para leer la hora correctamente según nuestro día medio, que es la hora oficial que normalmente usamos (la de nuestros relojes de pulsera y de nuestros móviles), hay que hacer una corrección, que viene marcada por la Ecuación del Tiempo.

Para ello, en el reloj de Monteagudo han colocado un atril con la gráfica de dicha ecuación, para que la lectura de la hora sea lo más exacta posible. La diferencia puede ser de hasta 15 minutos.

Si deseas saber más sobre el reloj y su construcción, puedes consultar esta web

Este reloj de la Loma de Santa Ana no es el único que podemos ver en Monteagudo del Castillo. Hay dos edificios destacados que cuentan con sendas parejas de relojes.

La fachada principal de la Iglesia Parroquial Nuestra Señora de los Ángeles cuenta con dos relojes verticales, uno con números romanos y el otro arábigos. Parece ser que uno de ellos se construyó para corregir el primero, que no marcaba bien la hora por no tener en cuenta la declinación de 38º al este de la fachada. 

  

En la fachada de Casa de la Tía Ramona, encontramos otra pareja de relojes de sol verticales. Ambos marcan la misma hora, por lo que se puede suponer que se construirían dos para mantener la simetría del conjunto. Los dos están construidos sobre láminas de arenisca, y su numeración es arábiga.

También se encontró un reloj en una fachada del Palacio Iván Tarín cuando se restauró, que se ha conservado.

Por su paisaje, por sus gentes y por sus relojes, Monteagudo del Castillo bien merece una visita.

Agradecemos a la información proporcionada por Damián Villamón para la realización de este artículo.

Animación cromática de obras de Salvador Victoria

Salvador Victoria (1928 – 1994) fue un pintor español cuya obra se encuadra dentro del movimiento artístico abstracto. En su localidad natal, Rubielos de Mora (Teruel), se puede visitar la Fundación Museo Salvador Victoria que acoge  un museo de arte contemporáneo español centrado en la segunda mitad del siglo XX. Nuestro instituto, en Monreal del Campo,  lleva su nombre, y nos pareció adecuado en el grupo de 1º Bachillerato de Ciencias trabajar con su obra, ya que en gran parte de ella utiliza elementos geométricos, en especial círculos.

De las reproducciones que cuelgan en las paredes del centro seleccionamos 3 cuadros sobre los que centramos las actividades a realizar:

La idea básica consistió en que cada alumno animase cromáticamente uno de sus cuadros con GeoGebra. Para ello se les propuso utilizar los colores dinámicos de la herramienta, de una manera sencilla, creando deslizadores de 0 a 1 para cada canal de color de los elementos.

Una vez estudiadas en clase los distintos tipos de funciones, se les propuso una actividad de investigación en la que debían colorear utiizando los colores dinámicos en GeoGebra un cuadrado de lado 1 por medio de una función continua para cada canal de color. Estas funciones deberían cumplir una serie de requisitos:

—Los valores de las funciones para el intervalo [0,1] no pueden salirse del cuadrado, es decir su recorrido ha de estar limitado al intervalo [0,1].

—Además para que no pasen por los mismos puntos, se impuso que,   

  • Una de ellas pase por (0,0) y (1, 1)
  • Otra ha de pasar por (0,1) y (1, 0)
  • Y la última puede cambiar, por ejemplo que pase por (0, 0.5) y (1,0.5)

Se les sugirió ir probando con distintos tipos: polinómicas, radicales, de proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, mezcla de varias…

Y para ver el efecto del color, darle al cuadrado colores dinámicos con esas funciones. Previamente había que definir un deslizador t entre 0 y 1 y en los colores dinámicos poner f(t), g(t), h(t)… los nombres de las funciones. Animar el deslizador y así se aprecia el efecto de color sobre el cuadrado. Cuando ya tenían una gama que les gustase solo se trataba de pasarlo al cuadro que ya estaba hecho.

A la hora de buscar las funciones los alumnos utilizaron desde sencillas funciones, hasta composiciones de funciones muy complejas, a trozos, etc. La facilidad con que GeoGebra permite ir probando, jugando con las combinaciones que cumplan las condiciones y ver sus efectos en el cuadro, resulta una investigación muy interesante y creativa.

 A continuación se muestran tres de los trabajos presentados. Todos los demás, organizados en un libro de GeoGebra, se pueden ver en este enlace.

Calles radiales en Karlsruhe

Karlsruhe es una localidad alemana (literalmente, “Descanso de Carlos”) de tamaño medio, con algo más de 300.000 habitantes,  situada en el estado de Baden-Wurtemberg. Fue fundada por el markgraf (margrave en español, título equivalente al de marqués) Carlos Guillermo de Baden-Durlach en 1715, por lo que su diseño corresponde a una época de expansión del estilo barroco. En Alemania, la arquitectura barroca fue utilizada, tanto por los gobernantes, para subrayar su poder con la magnitud de los edificios y jardines, como por la Iglesia Católica, con el mismo objetivo en su pugna con el protestantismo. 

Karlsruhe tiene una peculiar disposición de sus calles. Cuando se diseñó la ciudad, el margrave buscó remarcar su poder e importancia situando las calles a modo de radios equiangulares de una circunferencia en cuyo centro estaría situado su palacio. Y así se diseñó y construyó.

La planificación original incluía 32 calles, con un ángulo entre cada dos de ellas de 11,25º. El grabado de la imagen muestra el stadtplan (plano de la ciudad) en 1716 con las primeras calles abordadas.  Se supone que este dibujo es original del propio Karl Wilhelm.

 

La siguiente imagen muestra el stadtplan en 1720. En ella se observan las calles previstas en la imagen anterior, que hoy conforman el centro de la ciudad, y todos los radios, con los nombres de las calles previstos.

El Palacio, un imponente edificio con un ala central y dos laterales, posee una torre que ocupa el centro de la circunferencia, a partir del cual salen las calles. Hoy está ocupado por el  Badisches Landesmuseum (Museo Estatal de Baden). Está rodeado por amplios jardines que copian el modelo de Versalles.

En el centro de la foto anterior se puede observar, tras el palacio, la torre que ejerce de centro de la circunferencia.

La estructura radial de la ciudad diseñada en su inicio, finalmente se quedó en un “abanico” frente a la parte delantera del palacio, quedando el resto de la circunferencia ocupado por jardines y bosques, como se puede observar en esta vista aérea.

Esta forma de abanico de la ciudad (fächerstadt) se ha convertido en una suerte de símbolo identificativo, de modo que la podemos encontrar en diversos elementos urbanos, como en la decoración nocturna navideña, o en los bancos del exterior del Naturkundemuseum Karlsruhe (Museo de Ciencias Naturales de Karlsruhe).

 

La calle que parte del ala sur del palacio, llamada Südliche Waldstrabe (Camino forestal del sur), está decorada en toda su longitud por una línea recta de adoquines amarillos. Estos simulan un rayo de sol que parte de la torre del palacio, siguiendo uno de los radios (en la foto se ve al fondo dicha torre). Entre la decoración de los adoquines, infantil por lo general, encontramos alguno de contenido marcadamente matemático, como el firmado por el alcalde Heinz Fenrich, que además fue presidente de la TechnologieRegion Karlsruhe.

 

La vinculación de Karlsruhe con la tecnología es muy fuerte, ya que en esta ciudad reside el KIT (Karlsruhe Institute of Tecnology), institución universitaria de gran prestigio en Alemania. Destaca por sus estudios en ciencias e informática. De hecho, el 2 de agosto de 1984, el KIT recibió el primer correo electrónico que se envió a Alemania. En esta institución, Heinrich R. Hertz descubrió la forma de producir y detectar ondas electromagnéticas, y alberga, entre otras, la Facultad de Matemáticas.

Aún aparecen otros elementos geométricos en esta singular ciudad, como el panteón erigido sobre la tumba de su fundador, situado en la Marktplatz. Se trata de una pirámide de base cuadrada, que queda alineada sobre el radio que surge exactamente de la puerta del palacio. Además esta línea hace de eje de simetría en el diseño de los jardines. La pirámide fue construida en arenisca roja y también es usada como símbolo de la ciudad.

Karlruhe, una tranquila ciudad a orillas del Rhin …. ¡bien merece una visita!

Calculador trigonométrico

“El CALTRIG es un calculador trigonométrico, que tiene por finalidad completar prácticamente los estudios de trigonometría, facilitando su comprensión y la resolución de sus problemas, tanto directos como inversos.”  Profesor David Valle

Entre las tablas trigonométricas y las calculadoras electrónicas, nos encontramos con este calculador manual de razones trigonométricas. En el librillo de instrucciones que lo acompaña, dentro de su funda de cartón, aparece la fecha de publicación de 1967, en Madrid.

El aparato consta de una placa-base, un visor y una «regla de senos».

La placa-base contiene las siguientes rotulaciones:

—Los ejes coordenados con valores entre -2 y 2 en ambos ejes, en los que las marcas están separadas 0,02 unidades.

—Una circunferencia de radio 1 sobre la que están señalados los ángulos medidos en grados sexagesimales de 1 en 1.

—Otra circunferencia de radio mayor sobre la que los ángulos están medidos en grados centesimales.

—Una línea paralela al eje Y que pasa por el punto (1,0) y otra paralela al eje X por el punto (0,1), ambas con la misma graduación que los ejes.

—Para completar la señaléctica de la placa, en lugares visibles se encuentran abreviaturas que indican  los lugares donde hay que leer el valor de las razones trigonométricas así como su signo: eje X para coseno y secante; eje Y para seno y cosecante; línea paralela al eje Y para la tangente y línea paralela al eje Y para la cotangente.  Como estas dos últimas razones pueden tomar valores más allá del intervalo (-2, 2), a partir de los valores 1,73 y -1,73 se detallan los valores posibles sobre los arcos.

El visor, o disco giratorio sobre la placa, tiene dos líneas rojas perpendiculares, una que pasa por el origen de coordenadas, la diametral, y la otra, la perpendicular, que el autor la llama cruceta, que es tangente a la circunferencia de radio 1. Con la diametral se miden arcos o ángulos, tangentes y cotangentes y con la cruceta, secantes y cosecantes.

Además se dispone de la «rejilla de senos», que es un pequeño rectángulo curvo en uno de sus lados, colocado encima del visor y anclado al mismo en el punto de intersección de la diametral y la cruceta. Sobre ese punto puede girar. En la escala que contiene se leerán los valores del seno.

¿Cómo funciona?

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo, se coloca el origen de la rejilla de senos sobre ese ángulo. En el ejemplo, el ángulo será 60°.

Para hallar el valor del seno y coseno, se coloca la rejilla de manera que las marcas coincidan con el eje X, es decir vertical al eje X. El valor del seno será el que se lea en esta rejilla y el del coseno el que sea sobre el eje X.

El valor de la tangente lo da la diametral sobre la línea paralela al eje Y y el de la cotangente, sobre la línea paralela al eje X.

La secante se calcula como la intersección de la cruceta con el eje X y la cosecante buscando la interesección de la cruceta con el eje Y.

La justificación de su funcionamiento:

Estos días en clase, mientras trabajamos con la trigonometría, he aprovechado para comentar a los alumnos cómo se realizaban los cálculos con las tablas de logaritmos, y cómo se podrían llevar a cabo con este calculador trigonométrico, del que desconocía su existencia hasta hace poco que llegó a mis manos uno, que creo, no había sido utilizado nunca.

Ronda geométrica

Jugando con elementos aleatorios, GeoGebra permite crear composiciones artísticas geométricas muy coloridas. Sobre una circunferencia con 33 puntos (al igual que en La ronda de presos de Vincent van Gogh), se van seleccionando de forma aleatoria 3 o 4 que serán los vértices de triángulos o cuadriláteros que dejarán su estampa colorida (se activa el rastro y los colores dinámicos) sobre el círculo.

Si se incluyen círculos, el diseño asemeja cultivos de microorganismos, antibiogramas…

Un Día de Pi… pre-pandemia

Aunque el 14 de marzo es una buena fecha para proponer un poco de reflexión, no hace falta esperar al Día de Pi para llevar el tema al aula, poniendo en marcha actividades manipulativas que permitirán interiorizar mejor los aprendizajes.

Justo antes de que las restricciones por la pandemia de COVID-19 limitaran la actividad presencial en los centros, celebramos el Día de Pi mediante una actividad en la asignatura Didáctica de la Aritmética I, con alumnado de 2º curso del Grado de Magisterio en Primaria, en la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas (UNIZAR) en Teruel.

Para ello, ambientamos la entrada del centro con materiales cedidos por los IES Salvador Victoria e IES Valle del Jiloca y realizamos un taller de cálculo de PI.

Sky-Line de Pi realizado por alumnado de 1º ESO del IES Valle del Jiloca

El objetivo era mostrar actividades alternativas que llevaran al alumnado (y al futuro alumnado de nuestro alumnado) a abordar contenidos matemáticos mediante actividades manipulativas, evitando la definición memorística de conceptos que se pueden introducir de manera más racional y dotando a los futuros maestros de herramientas para ello.

En concreto, puesto que estábamos cerca del día 14 de marzo, la actividad giró en torno al número irracional Pi y su presencia en diversos fenómenos, no solo asociados a la circunferencia. Le dedicamos una sesión de 2 horas de duración.

Comenzamos comentando su carácter irracional y trascendente, para pasar a explicar varios métodos para aproximar su valor, que a su vez muestran la variedad de fenómenos en que aparece esta constante. En concreto 

  • Como resultado del cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia
  • Como resultado de la división 22:7
  • Midiendo el diámetro de polígonos con un número cada vez mayor de lados
  • Con la relación entre el área de un círculo y la del cuadrado en que está inscrito, con ayuda de números aleatorios
  • Utilizando series, en concreto la resolución de Euler al Problema de Basilea
  • Mediante la probabilidad, con el método de La Aguja de Buffon

Para ilustrar algunos de ellos, proyectamos vídeos. En el caso del primer método, vimos el vídeo PI con Pies, elaborado por el niño Lucas Fos para el concurso “Sin Pi no soy nada”, dentro de la celebración del Pi Day  Se trata de un estupendo ejemplo para llevar al aula. 

Y para ilustrar otros, proyectamos el vídeo 3 Maneras de Saber que Pi=3.14159… , de QuantumFracture.

En una segunda parte de la sesión, organizados por grupos, se pusieron en marcha dos métodos de cálculo, poniendo en común al final los resultados de los distintos grupos, constatando la inexactitud de las medidas, pero también el clro acercamiento al valor real de Pi.

El primer método experimentado fue el primero, el cálculo como resultado del cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. Como material, se contó con diversos objetos de forma circular de varios tamaños, tiras de lana y reglas en centímetros y milímetros. Y por supuesto, una calculadora. Cada grupo hacía su cálculo con, al menos, dos objetos diferentes, y los resultados se iban escribiendo en una tabla común en la pizarra.

El segundo método experimentado fue el de La Aguja de Buffon, basado en que la probabilidad de que una aguja (cerilla en nuestro caso) toque una red unas líneas paralelas de anchura constante e igual a la longitud de la cerilla, es 2/Pi, por lo que 

Los grupos crearon sus plantillas con las rectas a distancia “una cerilla” unas de otras, lanzaron las cerillas e hicieron sus cálculos.

Cerramos la sesión con la proyección del corto Pipas, ganador del Premio al Mejor Guión y Premio TAI al Mejor director en la XI edición del festival Jameson Notodofilmfest

Esperamos que la realización de estas actividades en el aula, sencillas y con material manipulativo y accesible, muestren a estos futuros docentes las posibilidades que tiene el hecho de llevar la clase de Matemáticas más allá del lápiz y el papel.

 

¿Dónde me coloco?

La ronda de presos, es un cuadro que Vincent van Gogh pintó en 1890, durante su estancia voluntaria en el sanatorio Saint-Rémy-de-Provence. Se trata de una interpretación del grabado London: A pilgrimage de Gustave Doré.

En el lienzo se ven 33 presos que caminan en círculo en el patio de la prisión bajo la mirada de tres personas. El cuadro sirvió de excusa en la clase, para plantear un problema de posición: el problema de Flavio Josefo. La adaptación a este cuadro, tal como se presentó al alumnado fue la siguiente:

“Imagina que tú estás entre los presos. Ha llegado una notificación del gobernador de la prisión para que uno se salve, pero la manera de seleccionar al afortunado va a seguir un procedimiento curioso:

Empezando por el preso rubio (1)  que mira al frente, este toca al preso que tiene delante, el 2,  y eso ya condena al 2 a quedarse en la cárcel. A continuación el 3, que no ha sido tocado todavía, toca al que tiene delante (el 4) y este se queda… y así sucesivamente. Cuando llegue al 33, tocará al 1, que se quedará, y vuelta a empezar. El primero que todavía tiene posibilidades de ser liberado (en este caso el 3) toca al siguiente en sus mismas condiciones, es decir, el 5, y el 7 tocará al 9 y todo el proceso se repite hasta que haya uno que no haya sido tocado por nadie. Ese es el que saldrá libre.

¿En qué posición deberías colocarte para saber con seguridad que vas a ser el agraciado que saldrá libre?

¿Y si en lugar de 33 presos fueran 34 o 41 o 57 o 64 o n?”

Comenzando con casos más sencillos, van elaborando hipótesis sobre el lugar en el que hay que colocarse para eludir la cárcel:

  

Continúan con sus apreciaciones de la siguiente manera:

Una vez encontrados los patrones, la dificultad se centra en explicarlos y resumirlos en una expresión que permita saber la posición adecuada para salir airoso de este círculo.

2n + 1-2x

donde n representa el número de presos y x la potencia de 2 más cercana, por defecto, de n.

O bien:

El cuadro Ronda de presos, sirvió para plantear otros tipos de problemas que ya se han comentado en este blog: Uniendo puntos  y A trozos.

¡Al agua, patos! Sumas, estrategia y probabilidad en Infantil

¡Al agua, patos! es un sencillo juego de estrategia para niños de  3º Curso de Ed. Infantil (5 años). El grupo MatemaTICinfantil ha realizado una versión con el programa Geogebra , que está lista para usar con una pizarra digital interactiva, o una tableta, a través de un navegador, en la página:  https://www.geogebra.org/m/vxtmtddz

Para que un juego fomente los aprendizajes en matemáticas, debe cumplir ciertos requisitos, como plantear un reto, regirse por una reglas pactadas de antemano, enfrentar a, al menos, dos contrincantes, poner en práctica ciertos contenidos matemáticos, y tener un final distinto en cada partida. Este final dependerá de si se trata de un juego de azar (el final no depende de las acciones de los jugadores) o de estrategia (los jugadores irán decidiendo sus acciones buscando una estrategia ganadora). Lógicamente, en el aula de matemáticas resultan más interesantes estos últimos, ya que nos permiten abordar en estas edades tan tempranas, ciertos aspectos de la resolución de problemas.

¡Al agua patos! se enmarcaría en el segundo tipo. Se puede desarrollar con dos jugadores individuales o dos equipos de jugadores, y plantea un escenario en el que se muestra un río con sus dos orillas y diez de patos de dos colores: cinco amarillos y cinco rojos. En ambas orillas hay piedras numeradas del 1 al 12. Al comienzo del juego, los niños deben colocar sus patos en las piedras que deseen. Durante su desarrollo, un equipo lanza dos dados (se puede hacer de forma virtual, con los dados que ofrece la aplicación, o con dados reales) y suma los resultados. Si la piedra que lleva el número obtenido en la suma tiene un pato, éste se lanza al agua arrastrándolo manualmente al río. Después, el otro equipo desarrolla su turno de la misma manera. Gana el primer equipo que tenga todos sus patos en el agua. 

Como ya se habrá observado, la probabilidad de obtener los números del 1 al 12 mediante la suma de los valores obtenidos en los dados, no es la misma para todos. El 1 no saldrá nunca como suma de dos números mayores o iguales que uno, luego su probabilidad es cero, mientras que el siete y el ocho tienen una probabilidad mayor de salir. Por lo tanto, aunque el resultado de la suma depende solo de los valores que al azar salen en los dados, la colocación inicial de los patitos sobre las piedras tiene un carácter estratégico, que los niños deberán tener en cuenta para intentar ganar: a lo largo de las partidas verán que no es lo mismo colocar los patos en unos lugares que en otros,  irán desarrollando una estrategia ganadora en la colocación de los patos sobre las piedras.

La aplicación permite elaborar una representación gráfica de la frecuencia de los valores obtenidos en la sumas, en forma de gráfico de barras. Esta puede generarse automáticamente o pueden ser los propios jugadores los que vayan marcando, en cada turno, la suma que han obtenido, utilizando la herramienta lápiz de la aplicación. A lo largo de la partida se irá generando una gráfica con forma (aproximada, lógicamente) de campana de Gauss, que el maestro puede aprovechar para comentar con el alumnado estas propiedades de las sumas de los resultados de los dados.

Los contenidos trabajados con este juego incluyen la realización de sumas de números de 1 al 6 mediante cálculo mental (la aplicación no proporciona ninguna herramienta para facilitar la ejecución de las sumas, aunque puede proporcionarlas el maestro). Así mismo, el planteamiento contextualizado como un juego, y la existencia de estrategias ganadoras nos llevan a la incursión en el ámbito de la resolución de problemas.   

Por otra parte, la realización automática del gráfico de barras con los resultados de las sumas, y su análisis comentado con el profesor, nos permite introducir al alumnado en los conceptos más básicos de la probabilidad y de la representación gráfica de datos. Aunque estos contenidos suelen considerarse demasiado elevados para una etapa como la educación infantil, podemos ver a través de esta actividad que los niños de 5 años, para los que está planteada, son perfectamente capaces de entender la relación entre la frecuencia de los resultados y su estrategia en el juego.

En el siguiente vídeo se puede observar la puesta en marcha de la aplicación en un aula de 5 años de Educación Infantil.

Maneras de contar

Un clásico ejercicio de habilidad como el de construir castillos de naipes plantea un problema para llevar al aula: ¿Cuántas cartas son necesarias para construir un castillo de n pisos? 

Entre las respuestas recogidas sorprende cómo se ataca la manera de contar las cartas. Aunque en algunos casos son similares, el desarrollo para llegar al resultado final varía. Veamos algunas de ellas.

Empezando por la parte superior, que sería el piso nº 1, se va formando la estructura hacia abajo. Este alumno empieza con las dos cartas, si solo hubiese un piso. Al construir otro piso se necesitan dos parejas de cartas y otra más para que el primero apoye; al edificar el tercero, se necesitan dos cartas para soportar el segundo  además de las tres parejas que forman las construcciones de dicho piso, y así sucesivamente. Esta imagen lo ilustra:

Aparecen dos progresiones aritméticas: 2, 4, 6, …   y  0, 1, 2, …  Basta sumar los n primeros términos de cada una de ellas para obtener el número total de cartas necesario para edificar del castillo de n pisos.

S_{n}=\dfrac{2+2n}{2}n+\dfrac{0+n-1}{2}n=n(n+1)+\dfrac{n(n-1)}{2}=n(\dfrac{3n+1}{2})

Por ejemplo, tal como se ve en la imagen, en el caso de 10 pisos, da como resultado 10·31/2=155.

Otra alumna plantea el recuento de las cartas desde una perspectiva de sustracción. Partiendo de grupos de 3 cartas (las dos laterales y la base) en cada piso harían falta 3 por el número del piso, pero habría que quitar las cartas que están en las bases, que son una menos del piso en el que estamos contando. Según esto, el proceso sería:

De manera que generalizando, para n pisos tendríamos:

S_{n}=3(1+2+\cdots+n)-n= 3\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n(\dfrac{3n+1}{2})

Pero nos encontramos con otra manera de contar las cartas que nos lleva de nuevo a la solución del problema. El alumno que presenta esta solución  aporta esta imagen para su explicación:

Como se ve, no cuenta cuantas hay en cada piso y luego suma, sino que va añadiendo, no un piso, sino apoyándose en lo anterior, completa por el lateral. Siguiendo este proceso, de manera numérica:

En esta secuencia se ve el procedimiento que le lleva a la solución, de manera recurrente. Llamando An al número de cartas que forman un castillo de n pisos, se tiene que:

\left\{\begin{matrix} A_{n}=A_{n-1}+3(n-1)+2 \\ A_{1}=2 \end{matrix}\right.

 

¿Se te ocurre alguna otra manera de contar?

 

Un reloj analemático en Alfambra

Alfambra es una pequeña localidad turolense, perteneciente a la Comarca Comunidad de Teruel, situada a unos 25 kilómetros al norte e la capital.

Si bien hoy apenas alcanza los 500 habitantes, en el pasado cobró cierta importancia, en especial en la Edad Media, cuando su administración fue encomendada a diversas órdenes militares, a lo largo del proceso llamado de la Reconquista. 

En el año 2006, el municipio decidió plasmar el recuerdo de esta importante etapa de su historia de una manera ciertamente curiosa: incluir los escudos de las diferentes órdenes militares que habían pasado por Alfambra en el conjunto de un reloj analemático, construido junto a la Ermita de Santa Ana.

Vista satélite de reloj y de la Ermita de Santa Ana. Google Maps

Los relojes analemáticos, frecuentemente horizontales, constituyen un tipo de reloj de sol con la característica de que se construyen sin gnomon: la sombra la produce la propia persona que lee la hora.

Estos relojes se apoyan en una elipse, cuyo eje mayor se elige libremente y cuyo eje menor se clacula teniendo en cuanta la latitud del emplazamiento. En concreto

  Eje menor = Eje mayor x sen(latitud) 

Las horas de sol del día se representan sobre una elipse, cuyo eje mayor está en la línea Este – Oeste, y cuyo eje menor está en la Norte – Sur. Para la ubicación exacta de estas horas se tiene en cuenta la latitud del lugar. En concreto, el ángulo phi que forma cada hora con el eje mayor (t representa los distintos naturales que nos hacen ir avanzando en las horas) se obtiene: 

tg phi  = [tg(15º x t)/sen (latitud)]

Por otra parte, el lugar donde colocar el “gnomon” (nosotros mismos) se marca sobre el eje menor, sobre el que se marca una escala de fechas sobre el analema solar. Éste es la curva con forma de 8 asimétrico que se obtiene tomando la posición del sol desde el mismo lugar y a la misma hora a lo largo de todo un año.

Colocándonos de pie sobre la fecha actual, nuestra sombra nos dará la lectura de la hora solar:

El reloj analemático de Alfamra fue inaugurado en 2006. Está construido sobre un disco circular de mármol rojo. El eje mayor de la elipse trazada en su interior es de 8 metros, por lo que, teniendo en cuenta que la latitud del punto es 40º 33 13″, obtenemos una longitud para el eje menor de poco más de 5 metros.

Como ornamento al reloj, en las zonas del círculo exterior correspondientes a los diferentes puntos cardinales, se han colocado los escudos de las distintas órdenes militares vinculadas al territorio, con la salvedad del Norte y el Sur, dedicados al escudo de la localidad de Alfambra y al año de inauguración respectivamente. 

Al este aparece el escudo de la Orden del Temple, a continuación la Orden de Monte Gaudio, en el suroeste el de la Orden de Malta, en el oeste el de la Orden de Montesa, en el noroeste el de la Orden de Jerusalén y  en el noreste el de la Orden del Santo Redentor.

   

Más información en:

Turismo de la Comarca Comunidad de Teruel