Se ha publicado el número 56 del boletín Entorno Abiertoque edita la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas, con los siguientes artículos.
Otro año más las matemáticas volvieron a ser parte importante del día a día del IES Salvador Victoria durante la semana del 5 al 9 de febrero de 2024 con retos, exposiciones, talleres y concurso.
Lostalleresllegaron a todos los grupos de secundaria y bachillerato y se contó con una exposición del programa Conexión Matemática.
De martes a viernes de esta semana, se repartió a la entrada del una pequeña hoja con un retode estimaciónque se podía depositar, resuelto, en una urna a lo largo de toda la semana.
Desde hace varios años el blog Fuera del servicio recoge cientos de carteles utilizados para indicar la ubicación de los baños, servicios, wc, toiletes… de bares, restaurantes, espacios públicos, etc. Entre todos ellos, los hay que utilizan formas geométricas básicas, y de ellos algunos utilizan el triángulo para los dos carteles. Algunos ejemplos los mostramos a continuación:
Se acaba de publicar el nº 42 de Entorno Abierto, publicación digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas. En él se publican comunicaciones de la IV Jornada de Educación Matemática de Aragón, así como secciones habituales y otras colaboraciones.
La mayoría de las grandes universidades cuentan con una facultad de matemáticas que alberga los estudios relacionados con esta disciplina. Lo que encontramos en la Ruprecht Karls Universität de Heidelberg (Estado de Baden-Wutnberg) va más allá. Es el Mathematikon.
Situado en Berliner Str. 41-49, en su Campus Im Neuhenheimer Feld, se trata de un conjunto de dos edificios con su entorno que, además de albergar la Facultad de Matemáticas constituye una apuesta por acercar esta ciencia a los ciudadanos de a pie, motivando su curiosidad e integrando diversos aspectos en la vida cotidiana.
Para empezar, el suelo de la manzana en que se encuentran está enlosado de manera que forma un enorme código de barras. Tal vez cuando camines por la acera no se aprecie, pero una vista aérea nos lo muestra con claridad.
Construido entre 2014 y 2016, consta de dos edificios. La parte A, situada al sur y más grande, alberga las facultades de matemáticas e informática.
En la parte B, al norte, encontramos la sorpresa: se diseñó como un espacio para todos los públicos en el que la curiosidad por diversos aspectos de las matemáticas se encendiera en cualquiera que accediera al edificio. De hecho, se plantea como un lugar de uso público: alberga un centro comercial, diversas oficinas y un parking público subterráneo, además de algunos servicios de restauración cuyas terrazas ocupan el espacio entre los edificios A y B.
Este centro comercial se convierte en un espacio divulgativo de las matemáticas. Los elementos que lo salpican son múltiples, llamativos y entretenidos.
Tanto si accedemos por el parking subterráneo, como si lo hacemos por cualquiera de sus dos entradas, lo primero que encontramos son representaciones gráficas de ecuaciones algebraicas elaboradas con Imaginary.
Ya en el interior, en el espacio común dedicado al descanso de los clientes, nos encontramos varios elementos llamativos. Por ejemplo, sobre las cristaleras que albergan los ascensores al piso suprior nos encontramos dos citas impresas en las mismas, una de Galileo Galilei y otra de Carl F. Gauss:
«El Universo está escrito en el lenguaje de las Matemáticas» de Galileo Galilei, y «Las Matemáticas son ‘regina et ancilla’, Reina y Criada en una sola«, de Carl F. Gauss.
En este mismo espacio hay unas mesas de uso libre para los clientes. El vallado bajo que las delimita está formado en parte por unas estructuras de madera con varillas y cuentas: son ábacos horizontales para que los niños jueguen mientras sus padres descansan (los niños no se cansan nunca, ya se sabe).
Incluso en los aseos públicos que están ubicados en el interior del centro encontramos una invitación a disfrutar de las matemáticas. Los espejos tienen una doble función: reflejan nuestra imagen, pero también nos proponen acertijos, y, durante el tiempo entre dos consecutivos, vemos evolucionar formas geométricas sobre nuestra imagen:
Si por fin nos decidimos a comprar algo y lo hacemos en la droguería que se encuentra en este centro comercial, a la hora de pagar nos despedirán ilustraciones matemáticas impresas en las cintas transportadoras de la mercancía. Como los sólidos platónicos y sus desarrollos, o una simpática interpretación de algunas de las funciones más conocidas.
Después de conocer el Mathematikon por dentro, podemos acercarnos a la zona exterior ajardinada, situada entre los dos edificios. Allí podemos contemplar tres esculturas en acero que representan otros elementos matemáticos.
Fueron instaladas en 2015 y son obra de Koos Verhoeff, matemático informático y artista matemático.
Acto de equilibrio está inspirado en el nudo en forma de ocho, a través de una incrustación en la celosía cúbica centrada en el cuerpo. Todas las vigas se han girado a lo largo de su eje longitudinal, de manera que la escultura se equilibra sobre una sola de ellas.
Lobke (que se podría traducir por «lóbulo») está inspirado en el octaedro, recorrido a través de lo que, en Teoría de Grafos, se conoce como un ciclo de Euler.
Está formado por seis lóbulos, fragmentos todos ellos de conos cuyos vértices estarían en el centro de un cubo. (Más información)
Ciclo de Hamilton en el fútbol está inspirada en el icosaedro truncado a través de un ciclo hamiltoniano, el más simétrico de los varios que admite el poliedro.
El Mathematikon es, pues, parada obligada en la visita a esta maravillosa ciudad alemana, centro del movimiento romántico en este país, con la universidad más antigua de Europa que, a orillas del Neckar, nos cautiva con su Carl-Theodor-Brücke (el Puente de Carlos Teodoro), su Aldstat (Ciudad Vieja) y su imponente y famoso palacio.
GeoEnZo es un programa portable que facilita herramientas para realizar construcciones geométricas mostrando los instrumentos necesarios, y por tanto, mostrando el proceso detallado.
No es nueva (su primera versión data de 2009) y su estética se corresponde con la de los programas de aquellos años. Sin embargo su utilidad y su vigencia se mantienen con la actual Versión 5.0.
En estos tiempos de pandemias y enseñanza online, la posibilidad de reproducir en remoto el proceso de desarrollo paso a paso de una construcción clásica, con los instrumentos a la vista, puede resultar muy útil. Exactamente eso es lo que nos ofrece GeoEnZo.
La aplicación permite diversas cuadrículas como fondo. Cuenta con compás, regla y varios transportadores. Se puede cambiar el grosor y el color del trazo. Ofrece la representación de diferentes objetos tridimensionales, y otras posibilidades.
Lo cierto es que puede ser de gran utilidad en la tesitura de desarrollar una clase de geometría clásica online. En una sesión por videoconferencia, podemos mostrar a los alumnos paso a paso la realización de las construcciones con esta herramienta.
La Versión 5.0 está disponible en castellano en http://geoenzo.com/geoenzo/geoenzo.htm (traducido por Julio Alberto Fortines Hernandes) y no requiere instalación: se descarga un archivo en formato .zip que se puede descomprimir en una memoria USB. Funciona con los sistemas operativos Windows Vista, 8 y 10.
Los desarrolladores de GeoEnZo, radicados en los Países Bajos, ofrecen en su web Math4all.nl otros recursos, experiencias y materiales para la clase de matemáticas.
Monteagudo del Castillo es una pequeña localidad situada a 1450 metros de altitud, sobre la Sierra de El Pobo, en Teruel. Es uno de los diez municipios que conforman el Parque Cultural del Chopo Cabecero del Alto Alfambra. Tierras altas y frías de una belleza inusual.
Allí, en las inmediaciones del pueblo, las inquietas gentes de la Asociación Amigos del Pairón de Monteagudo, en su afán de conservar e incrementar los elementos patrimoniales de la localidad, han construido un reloj de sol de gran tamaño. Iniciado en agosto y concluido en diciembre de 2020, se encuentra en la Loma de Santa Ana, y desde él se dispone de una vista espectacular del pueblo y del entorno.
Se trata de un reloj horizontal que tiene por cuadrante un semicírculo de 6 metros de radio, con un estilo de 3 metros de longitud, y cuyas horas las marcan estrellas mudéjares metálicas con números romanos.
Los relojes horizontales ubicados en el hemisferio norte orientan su estilo en dirección norte-sur, con el gnomon apuntando hacia la estrella Polar (norte). Por lo tanto, el estilo es paralelo al eje de rotación terrestre . Monteagudo se encuentra a una latitud de 40º 27′ N, por lo que ese es el ángulo que el estilo forma con el cuadrante.
En este tipo de relojes, la sombra completa del estilo está siempre alineada, a la misma hora, en cualquier momento del año. Por lo tanto las mismas líneas horarias, marcadas en este caso por barras metálicas que van de la base del estilo hacia las marcas de las horas, indican la hora en cualquier época del año. El gnomon (extremo del estilo) está afilado para una mejor indicación de la hora.
Dado que el reloj de sol utiliza la sombra producida para la lectura de la hora, nos da una medida del tiempo verdadero. El día verdadero es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del Sol por el meridiano del lugar. Estamos hablando, lógicamente, del movimiento aparente del Sol. Como la órbita de la Tierra no es circular, sino elíptica, este movimiento aparente (visto desde la Tierra) no es uniforme. El resultado es que el Sol «va más rápido» en otoño e invierno que en primavera y verano.
Como el reloj de sol se basa en este día verdadero, para leer la hora correctamente según nuestro día medio, que es la hora oficial que normalmente usamos (la de nuestros relojes de pulsera y de nuestros móviles), hay que hacer una corrección, que viene marcada por la Ecuación del Tiempo.
Para ello, en el reloj de Monteagudo han colocado un atril con la gráfica de dicha ecuación, para que la lectura de la hora sea lo más exacta posible. La diferencia puede ser de hasta 15 minutos.
Si deseas saber más sobre el reloj y su construcción, puedes consultar esta web.
Este reloj de la Loma de Santa Ana no es el único que podemos ver en Monteagudo del Castillo. Hay dos edificios destacados que cuentan con sendas parejas de relojes.
La fachada principal de la Iglesia Parroquial Nuestra Señora de los Ángeles cuenta con dos relojes verticales, uno con números romanos y el otro arábigos. Parece ser que uno de ellos se construyó para corregir el primero, que no marcaba bien la hora por no tener en cuenta la declinación de 38º al este de la fachada.
En la fachada de Casa de la Tía Ramona, encontramos otra pareja de relojes de sol verticales. Ambos marcan la misma hora, por lo que se puede suponer que se construirían dos para mantener la simetría del conjunto. Los dos están construidos sobre láminas de arenisca, y su numeración es arábiga.
También se encontró un reloj en una fachada del Palacio Iván Tarín cuando se restauró, que se ha conservado.
Por su paisaje, por sus gentes y por sus relojes, Monteagudo del Castillo bien merece una visita.
Agradecemos a la información proporcionada por Damián Villamón para la realización de este artículo.
Salvador Victoria (1928 – 1994) fue un pintor español cuya obra se encuadra dentro del movimiento artístico abstracto. En su localidad natal, Rubielos de Mora (Teruel), se puede visitar la Fundación Museo Salvador Victoria que acoge un museo de arte contemporáneo español centrado en la segunda mitad del siglo XX. Nuestro instituto, en Monreal del Campo, lleva su nombre, y nos pareció adecuado en el grupo de 1º Bachillerato de Ciencias trabajar con su obra, ya que en gran parte de ella utiliza elementos geométricos, en especial círculos.
De las reproducciones que cuelgan en las paredes del centro seleccionamos 3 cuadros sobre los que centramos las actividades a realizar:
La idea básica consistió en que cada alumno animase cromáticamente uno de sus cuadros con GeoGebra. Para ello se les propuso utilizar los colores dinámicos de la herramienta, de una manera sencilla, creando deslizadores de 0 a 1 para cada canal de color de los elementos.
Una vez estudiadas en clase los distintos tipos de funciones, se les propuso una actividad de investigación en la que debían colorear utiizando los colores dinámicos en GeoGebra un cuadrado de lado 1 por medio de una función continua para cada canal de color. Estas funciones deberían cumplir una serie de requisitos:
—Los valores de las funciones para el intervalo [0,1] no pueden salirse del cuadrado, es decir su recorrido ha de estar limitado al intervalo [0,1].
—Además para que no pasen por los mismos puntos, se impuso que,
Una de ellas pase por (0,0) y (1, 1)
Otra ha de pasar por (0,1) y (1, 0)
Y la última puede cambiar, por ejemplo que pase por (0, 0.5) y (1,0.5)
Se les sugirió ir probando con distintos tipos: polinómicas, radicales, de proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, mezcla de varias…
Y para ver el efecto del color, darle al cuadrado colores dinámicos con esas funciones. Previamente había que definir un deslizador t entre 0 y 1 y en los colores dinámicos poner f(t), g(t), h(t)… los nombres de las funciones. Animar el deslizador y así se aprecia el efecto de color sobre el cuadrado. Cuando ya tenían una gama que les gustase solo se trataba de pasarlo al cuadro que ya estaba hecho.
A la hora de buscar las funciones los alumnos utilizaron desde sencillas funciones, hasta composiciones de funciones muy complejas, a trozos, etc. La facilidad con que GeoGebra permite ir probando, jugando con las combinaciones que cumplan las condiciones y ver sus efectos en el cuadro, resulta una investigación muy interesante y creativa.
A continuación se muestran tres de los trabajos presentados. Todos los demás, organizados en un libro de GeoGebra, se pueden ver en este enlace.
Karlsruhe es una localidad alemana (literalmente, «Descanso de Carlos») de tamaño medio, con algo más de 300.000 habitantes, situada en el estado de Baden-Wurtemberg. Fue fundada por el markgraf (margrave en español, título equivalente al de marqués) Carlos Guillermo de Baden-Durlach en 1715, por lo que su diseño corresponde a una época de expansión del estilo barroco. En Alemania, la arquitectura barroca fue utilizada, tanto por los gobernantes, para subrayar su poder con la magnitud de los edificios y jardines, como por la Iglesia Católica, con el mismo objetivo en su pugna con el protestantismo.
Karlsruhe tiene una peculiar disposición de sus calles. Cuando se diseñó la ciudad, el margrave buscó remarcar su poder e importancia situando las calles a modo de radios equiangulares de una circunferencia en cuyo centro estaría situado su palacio. Y así se diseñó y construyó.
La planificación original incluía 32 calles, con un ángulo entre cada dos de ellas de 11,25º. El grabado de la imagen muestra el stadtplan (plano de la ciudad) en 1716 con las primeras calles abordadas. Se supone que este dibujo es original del propio Karl Wilhelm.
La siguiente imagen muestra el stadtplan en 1720. En ella se observan las calles previstas en la imagen anterior, que hoy conforman el centro de la ciudad, y todos los radios, con los nombres de las calles previstos.
El Palacio, un imponente edificio con un ala central y dos laterales, posee una torre que ocupa el centro de la circunferencia, a partir del cual salen las calles. Hoy está ocupado por el Badisches Landesmuseum (Museo Estatal de Baden). Está rodeado por amplios jardines que copian el modelo de Versalles.
En el centro de la foto anterior se puede observar, tras el palacio, la torre que ejerce de centro de la circunferencia.
La estructura radial de la ciudad diseñada en su inicio, finalmente se quedó en un «abanico» frente a la parte delantera del palacio, quedando el resto de la circunferencia ocupado por jardines y bosques, como se puede observar en esta vista aérea.
Esta forma de abanico de la ciudad (fächerstadt) se ha convertido en una suerte de símbolo identificativo, de modo que la podemos encontrar en diversos elementos urbanos, como en la decoración nocturna navideña, o en los bancos del exterior del Naturkundemuseum Karlsruhe (Museo de Ciencias Naturales de Karlsruhe).
La calle que parte del ala sur del palacio, llamada Südliche Waldstrabe (Camino forestal del sur), está decorada en toda su longitud por una línea recta de adoquines amarillos. Estos simulan un rayo de sol que parte de la torre del palacio, siguiendo uno de los radios (en la foto se ve al fondo dicha torre). Entre la decoración de los adoquines, infantil por lo general, encontramos alguno de contenido marcadamente matemático, como el firmado por el alcalde Heinz Fenrich, que además fue presidente de la TechnologieRegion Karlsruhe.
La vinculación de Karlsruhe con la tecnología es muy fuerte, ya que en esta ciudad reside el KIT (Karlsruhe Institute of Tecnology), institución universitaria de gran prestigio en Alemania. Destaca por sus estudios en ciencias e informática. De hecho, el 2 de agosto de 1984, el KIT recibió el primer correo electrónico que se envió a Alemania. En esta institución, Heinrich R. Hertz descubrió la forma de producir y detectar ondas electromagnéticas, y alberga, entre otras, la Facultad de Matemáticas.
Aún aparecen otros elementos geométricos en esta singular ciudad, como el panteón erigido sobre la tumba de su fundador, situado en la Marktplatz. Se trata de una pirámide de base cuadrada, que queda alineada sobre el radio que surge exactamente de la puerta del palacio. Además esta línea hace de eje de simetría en el diseño de los jardines. La pirámide fue construida en arenisca roja y también es usada como símbolo de la ciudad.
Karlruhe, una tranquila ciudad a orillas del Rhin …. ¡bien merece una visita!
«El CALTRIG es un calculador trigonométrico, que tiene por finalidad completar prácticamente los estudios de trigonometría, facilitando su comprensión y la resolución de sus problemas, tanto directos como inversos.» Profesor David Valle
Entre las tablas trigonométricas y las calculadoras electrónicas, nos encontramos con este calculador manual de razones trigonométricas. En el librillo de instrucciones que lo acompaña, dentro de su funda de cartón, aparece la fecha de publicación de 1967, en Madrid.
El aparato consta de una placa-base, un visor y una «regla de senos».
La placa-base contiene las siguientes rotulaciones:
—Los ejes coordenados con valores entre -2 y 2 en ambos ejes, en los que las marcas están separadas 0,02 unidades.
—Una circunferencia de radio 1 sobre la que están señalados los ángulos medidos en grados sexagesimales de 1 en 1.
—Otra circunferencia de radio mayor sobre la que los ángulos están medidos en grados centesimales.
—Una línea paralela al eje Y que pasa por el punto (1,0) y otra paralela al eje X por el punto (0,1), ambas con la misma graduación que los ejes.
—Para completar la señaléctica de la placa, en lugares visibles se encuentran abreviaturas que indican los lugares donde hay que leer el valor de las razones trigonométricas así como su signo: eje X para coseno y secante; eje Y para seno y cosecante; línea paralela al eje Y para la tangente y línea paralela al eje Y para la cotangente. Como estas dos últimas razones pueden tomar valores más allá del intervalo (-2, 2), a partir de los valores 1,73 y -1,73 se detallan los valores posibles sobre los arcos.
El visor, o disco giratorio sobre la placa, tiene dos líneas rojas perpendiculares, una que pasa por el origen de coordenadas, la diametral, y la otra, la perpendicular, que el autor la llama cruceta, que es tangente a la circunferencia de radio 1. Con la diametral se miden arcos o ángulos, tangentes y cotangentes y con la cruceta, secantes y cosecantes.
Además se dispone de la «rejilla de senos», que es un pequeño rectángulo curvo en uno de sus lados, colocado encima del visor y anclado al mismo en el punto de intersección de la diametral y la cruceta. Sobre ese punto puede girar. En la escala que contiene se leerán los valores del seno.
¿Cómo funciona?
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo, se coloca el origen de la rejilla de senos sobre ese ángulo. En el ejemplo, el ángulo será 60°.
Para hallar el valor del seno y coseno, se coloca la rejilla de manera que las marcas coincidan con el eje X, es decir vertical al eje X. El valor del seno será el que se lea en esta rejilla y el del coseno el que sea sobre el eje X.
El valor de la tangente lo da la diametral sobre la línea paralela al eje Y y el de la cotangente, sobre la línea paralela al eje X.
La secante se calcula como la intersección de la cruceta con el eje X y la cosecante buscando la interesección de la cruceta con el eje Y.
La justificación de su funcionamiento:
Estos días en clase, mientras trabajamos con la trigonometría, he aprovechado para comentar a los alumnos cómo se realizaban los cálculos con las tablas de logaritmos, y cómo se podrían llevar a cabo con este calculador trigonométrico, del que desconocía su existencia hasta hace poco que llegó a mis manos uno, que creo, no había sido utilizado nunca.
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Después de conocer el Mathematikon por dentro, podemos acercarnos a la zona exterior ajardinada, situada entre los dos edificios. Allí podemos contemplar tres esculturas en acero que representan otros elementos matemáticos.
Lobke 
Ciclo de Hamilton en el fútbol está inspirada en el icosaedro truncado a través de un ciclo hamiltoniano, el más simétrico de los varios que admite el poliedro.
fue un pintor español cuya obra se encuadra dentro del movimiento artístico abstracto. En su localidad natal, Rubielos de Mora (Teruel), se puede visitar la 
