A trozos

Continuando con el problema de la entrada anterior, se planteó a los alumnos contar cuántos trozos se van formando con los segmentos que parten el círculo. Es decir, dados n puntos sobre la circunferencia se trata de encontrar cuantos trozos generan los segmentos que aparecen al unir todos los puntos entre sí.

Este problema, propuesto por Leo Moser, aparece en el libro Circo matemático de Martin Gardner.

Para trabajarlo con los alumnos se les pidió que vieran qué ocurre con 5 puntos.

Y tal como podían esperar, siguiendo la serie observada en los casos anteriores: 2, 4, 8…, obtuvieron 16 trozos, lo que les llevó a generalizar rápidamente y dar como respuesta 32 en el caso de 6 puntos.

Animados a comprobarlo sobre un dibujo, se dieron cuenta que no pasaban de 31.

Llegados aquí se comentó la solución del problema que dio Leo Moser, nada evidente:

n+\binom{n}{4}+\binom{n-1}{2}

Una vez comprobados que los valores encontrados antes aparecían al sustitutir n por 2, 3, 4, 5 y 6, se les animó a comprobarlo con 7 puntos:

Siguiendo lo recogido en el libro Circo Matemático, se pidió a ver si podían encontrar  alguna relación entre estos valores que se obtienen y el triángulo aritmético. Y curiosamente, la hay:

Martin Gardner comenta sobre este problema: “No he podido averiguar dónde ni cuándo Moser publicó por primera vez este problema, pero en una carta suya me dice que debió ser hacia 1950, en Mathematics Magazine . Desde aquella fecha ha aparecido en numerosas publicaciones y libros, resuelto de diversas formas.”

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