Abr 26 2017

El teorema- RNE

Cada vez más las emisoras de radio incorporan en sus programaciones espacios, más o menos extensos, dedicados a las matemáticas. ¿Estarán de moda? Hace poco comentábamos el nacimiento  en Radio 5 de RNE del programa semanal Raiz de 5, y ahora, también en Radio Nacional, en horario nocturno, descubrimos la sección El Teorema, con  Eduardo Saénz de Cabezón, dentro del programa Gente Despierta dirigido por Carles Mesa de martes a viernes de 0 a 3 de la noche de periodicidad semanal.

A disfrutarlos!

 

Eduardo Sáenz de Cabezón fue el ganador de la edición de Famelab-2013 en España:

Abr 22 2017

Figuras ocultas

Autora de la reseña: María García Cutando. 1º Bachillerato. IES Valle del Jiloca

Hace unas semanas, tuvimos la suerte de ver en el cine de Calamocha la película Figuras ocultas.

Desde el comienzo podemos ver cómo las matemáticas están presentes en la película. Katherine Johnson sale de niña en la escuela observando el mosaico de una puerta y nombrando todo tipo de figuras matemáticas, isósceles, escaleno, trapezoide, entre otras. También menciona a los números primos. El colegio le concede una beca para que pueda saltarse cursos ya que tiene una capacidad intelectual asombrosa. Deja boquiabiertos a sus compañeros de clase más mayores que ella cuando el profesor le hace salir a la pizarra y la niña les explica cómo resuelve una ecuación bastante compleja para su edad.

Luego hace un salto en el tiempo hasta que es adulta y aparece junto a otras dos mujeres negras al igual que Katherine. Las tres mujeres trabajan en la NASA y son escoltadas por un agente de policía debido a que iban a llegar tarde por un fallo en el motor de su coche. En la NASA se ve discriminación por la diferencia de razas, las personas blancas ocupaban los altos cargos y las personas de color tenían su propio edificio y les era imposible alcanzar un puesto más alto al de calculadoras. Esta discriminación racial tenía una influencia inmensa en esa época.

Los rusos habían lanzado el primer satélite de la historia y los norteamericanos querían adelantarlos en la carrera espacial. Para ello necesitaban la ayuda de alguien que supiera de geometría analítica. Así fue como Katherine empezó a trabajar con los grandes ingenieros. Para comprobar su inteligencia, Harrison, el jefe, le pregunta por el triedro de Frenet y el algoritmo de ortogonalización.

A Mary Jackson la destinan junto a un equipo de ingenieros para mejorar la estructura de la cápsula ya que no era resistente, y al lanzarla al espacio tenía muchas posibilidades de acabar ardiendo. Ella les aconseja cambiar a una estructura que evite la utilización de tornillos ya que la presión a la que se somete la cápsula termina arrastrándolos y hace que aumente la probabilidad de que explote. El ingeniero jefe, que es polaco, le anima a ser ingeniera y aunque el marido de Mary la desanima, ella opta por intentarlo. Para poder ser ingeniera debe cumplir las normas, debe haber cursado en la Universidad de Virginia que es exclusiva para blancos o haber estudiado en la escuela técnica también sólo para blancos. A pesar de todas las complicaciones, se enfrenta a un juicio, que acaba ganando. De esta manera puede ir a las clases nocturnas y estudiando llega a graduarse. Así es cómo Mary consigue ser la primera mujer negra ingeniera aeroespacial.

A Dorothy Vaughan se le impide por todos los medios ser supervisora de las calculadoras de color, aunque de hecho está desempeñando ese papel sin reconocimiento. Cuando va a hablar con la encargada se ve la discriminación que sufre por ser de otra raza, al igual que cuando va a la biblioteca con sus hijos, hay sección para personas de color y aparte estanterías para blancos y la expulsan por estar en la zona reservada para blancos. Allí “toma prestado un libro” un libro que trata sobre el lenguaje de programación Fortran. Previendo que a causa de la aparición de los ordenadores pueden perder su trabajo,  estudia este lenguaje y les enseña a las demás calculadoras a programar un ordenador. Había llegado a la NASA el IBM, un ordenador capaz de calcular millones de números en un tiempo récord. Al final, gracias a Dorothy, hacen funcionar al IBM y se convierte en la primera supervisora negra en la NASA.

Katherine consigue ir más allá, aún sin tener casi datos, (eran confidenciales por lo que Paul Stafford tachaba gran parte de la información antes de entregarle los cuadernos). Mejora los cálculos que tenían hasta entonces. Esto les permite calcular la trayectoria de la primera misión tripulada por la NASA. Gracias a la colaboración de Katherine, encuentran una forma de pasar de una trayectoria elíptica a otra parabólica para el viaje de regreso, utilizando el método de Euler.

Lucha por entrar en las reuniones de los altos cargos a los que sólo podían entrar hombres blancos. En estas reuniones buscaban solución a un problema serio que tenían: los datos de la masa, la presión y otras magnitudes, cambiaban constantemente y le impedían trabajar correctamente. Se arriesgó discutiendo con el jefe hasta que pudo participar en las reuniones. Su aportación les permitió obtener más precisión en los cálculos y saber dónde caería la cápsula cuando lanzaran al astronauta y regresara.

Durante la película también se tratan otros temas a parte de las matemáticas como el romance entre Katherine y el teniente coronel James, que, a pesar de comenzar con mal pie en su encuentro en la iglesia, acaba bien: James se gana a sus tres hijas y a su madre y acaban casándose.

Además se habla de la discriminación racial, lo podemos comprobar con los siguientes ejemplos: baños separados, comedores separados, asientos en el autobús separados, incapacidad de estudiar cursos superiores a las personas de raza negra, problemas para progresar académicamente y profesionalmente, infravaloración a las personas de color incluso por género, incapacidad de alcanzar sus sueños ya que tenían menos recursos, entre otras.

También está presente la discriminación por género, las mujeres que trabajaban en la NASA tenían que llevar tacones, una falda por debajo de las rodillas y joyas sólo podían pequeños collares discretos o perlas pequeñas.

Para concluir, un dato que me ha parecido curioso de la película es que, cuando tienen que meter el IBM en la sala exclusivamente diseñada para él, no podía entrar. El ordenador no cabía por la puerta, a nadie se le había ocurrido medir el tamaño de ésta, aunque hubiera miles de ingenieros trabajando.

La película me ha parecido muy interesante. Es increíble cómo tres mujeres tan inteligentes, a pesar de todas las dificultades que tenían por la sociedad en la que vivían, hayan luchado tanto para conseguir sus metas. Además de que se refleja muy bien cómo era la época, con la gran discriminación que había se ve el gran mérito y esfuerzo de estas mujeres. También nos permite destacar todo el trabajo y valor que tuvieron para enfrentarse a esos roles establecidos. Sin ellas no habría sido posible el avance de la carrera espacial ni el desarrollo en ingeniería e informática ni la existencia de grandes momentos como el de que el hombre llegara a la Luna gracias a sus contribuciones al campo de las matemáticas y las tecnologías.

María García Cutando 1ºBTO-A

Abr 17 2017

Raíz de 5

Lleva poco tiempo en antena, apenas un mes. De momento solo 5 programas, en Radio 5 y se titula Raíz de 5. Es un programa radiofónico de divulgación de las matemáticas que se emite los sábados a las 12:37, de una duración aproximada de 20 minutos. Lo presenta Santi García Cremades y cuenta con un par de secciones “Latidos de la Historia” a cargo de Antonio Pérez y “Están en todas partes” por Javier Santaolalla.

 

Puedes escuchar los podcast del programa en este enlace.

Abr 04 2017

El copo de nieve de Koch

Durante este curso, en el IES Valle del Jiloca se ha desarrollado un proyecto desde diversos departamentos cuya temática es “El Frío”.

Entre otras cosas, desde el departamento de Matemáticas, alumnado de 4º de ESO ha trabajado sobre la estructura fractal de Koch, conocida como “Copo de nieve” por su aspecto estrellado.
Este fractal se obtiene a partir de un triángulo equilátero, dividiendo sus lados en tres partes iguales y contruyendo sobre la central un nuevo triángulo equilátero. Iterando este proceso indefinidamente, se obtiene la estructura estrellada.
Agrupados en equipos, entre toda la clase elaboraron cinco Copos de Nieve de Koch, y los “rellenanaron” con información sobre:

  • El matemático Helge von Koch, que lo desarrolló
  • Las características matemáticas de su perímetro (infinito) y su área (finita)
  • Otras versiones a partir de otras figuras geométricas como cuadrados o hexágonos.

Para construirlos hubo que improvisar compases de brazo largo mediante tiras de lana y recortar muchos detalles. Desde luego que el perímetro se hace infinito…


 

 

 

 

 

Mar 31 2017

En busca de un número

En esta ocasión, el problema planteado es para 3º ESO y como otras veces, aparecen formas de resolverlo diferentes. El problema es:

Encuentra dos números naturales tales que los dos séptimos de uno coincidan con los tres octavos del otro.

 

 

 

De nuevo el álgebra al rescate: si x es uno de los números e y el otro, \frac{2x}{7}=\frac{3y}{8}\

Y de ahí se obtiene de forma rápida que x=21 e y=16 son solución de problema.

En este caso una función lineal representa las posibles soluciones de las que solo serán válidas aquellas que pasen exactamente por los puntos de intersección de la cuadrícula.

 

 

Pero hay otras alternativas. Virginia busca el denominador común de las dos fracciones: 56.  Y ahora calcula los 2/7 de 56 que son 16 y los 3/8 de 56 que son 21 y ya lo tiene, sin necesidad de x ni y.  El dibujo lo muestra gráficamente. Los rectángulos amarillo y azul son las soluciones.

 

 

Irene sin embargo utiliza otro razonamiento. “Para averiguarlo tenemos que encontrar un número que al multiplicarlo por 2 nos de lo mismo que al multiplicar otro número por 3”. Ella elige el 30  (15 x 2 = 10 x 3). Y continúa “los números 15 y 10 tenemos que multiplicarlos por sus números respectivos (el 7 para el 15 y el 8 para el 10) y se obtiene  15 x 7 =105   y  10 x 8 = 80”.

No son los números más pequeños que cumplen la propiedad, pero los hubiera conseguido si en lugar de elegir 15 y 10 elige 3 y 2.

 

Mar 27 2017

Cambiando de unidad

En muchas ocasiones nos resulta difícil imaginar o comprender cantidades muy grandes. Una forma de visualizarlas es la utilización de otras unidades de medida, más cercanas. En el mismo día me encuentro en dos periódicos distintos con noticias en las que se utilizan “nuevas” unidades de medida.

Heraldo de Aragón:

La Torre del Agua es una construcción levantada para la Expo 2008 en Zaragoza.

El País:

Realmente ¿podemos imaginarnos 1385 piscinas olímpicas? ¿Hay tantas en España? ¿O en Europa? ¿Necesitamos otra unidad para visualizar este número?…

 

Mar 22 2017

Perdices, pichones y gorriones

Les propuse a mis alumnos este problema  seleccionado del libro Fibonacci y los problemas del Liber Abaci de Alberto Ugarte. 

 

Un hombre compra 30 pájaros entre perdices, pichones y gorriones. Se gasta 30 denarios. Si una perdiz cuesta 3 denarios, un pichón 2 y dos gorriones 1 denario, ¿cuántos pájaros compró el hombre de cada tipo?

 

El impulso de los alumnos les conduce al álgebra. Llamar x al número de perdices, y al de pichones y z al de gorriones, les permite plantear las ecuaciones

x+y+z=30

3x+2y+0,5z=30

y darse cuenta de que necesitan otra ecuación. Hay quienes tratan de buscarla amparados en la casualidad de que coinciden los segundos miembros de ambas ecuaciones, sin percatarse de que esa nueva ecuación no les aporta nada nuevo. Con el sistema con tres ecuaciones, se ponen a resolverlo y llegan de nuevo a dos ecuaciones con tres incógnitas y entonces empiezan a pensar de otra manera. Parece que aquí hay más de una solución posible, al menos, en principio.

Hay quienes deciden probar y sin explicar muy bien cómo organizan esos intentos llegan a la solución correcta: 3 perdices, 5 pichones y 22 gorriones. Otros como Ángela,  siguen por la línea algebraica y consiguen escribir una de las incógnitas en función de otra:

\large x=6-\frac{3}{5}y

lo que les permite concluir que  y solo puede tomar el valor 5, ya que x ha de ser entero positivo y de ahí z deberá ser 22.

Hasta aquí era lo esperado, pero afortunadamente, a veces te encuentras con procesos inesperados y muy satisfactorios.

Es el caso de Andrea, que despeja x e y en función de z (como antes), pero luego va imponiendo condiciones sobre los posibles valores de las incógnitas (no puede comprar más de 10 perdices con 30 denarios, o más de 15 pichones con los mismos 30 denarios, y por supuesto las soluciones han de ser positivas) y acotando las posibles soluciones. Pongo una fotografía de su explicación que es bastante clara:

No ha tenido en cuenta el matiz de que en el enunciado ya se dice que compra de los tres tipos de aves por lo que no hay que considerar los casos en los que alguna de las incógnitas valgan 0.

Por su parte Elena, ha seguido un proceso basado en uno que encontró en uno de los capítulos de El hombre que calculaba, lectura llevada a cabo en el primer trimestre de este curso. Argumenta de la siguiente forma:

“Como hay tres tipos de pájaros voy a suponer que dedica 10 denarios a cada uno de los tipos. De esta manera con 10 denarios puede comprar 3 perdices y le sobra una moneda, con otros 10 puede comprar 5 pichones y no le sobra nada y con los 10 denarios restantes 20 gorriones y tampoco le sobra ninguno. Con este reparto ha comprado 3 + 5 + 20 = 28 aves y le sobra un denario, que lo invierte en dos gorriones más y así llega a tener los 30 pájaros y gastar los 30 denarios.”

Mar 19 2017

Relojes con Geogebra

Kronosferia es el título del proyecto que estamos desarrollando en el IES Salvador Victoria durante este curso. En torno al tiempo cronológico se van desarrollando las actividades en todos los grupos. Les propuse a los alumnos de 1º de bachillerato un reto con Geogebra: poner en marcha los relojes de algunos cuadros. En primer lugar elegimos los mismos. No está demasiado fácil, pues en algunas ocasiones son tan minúsculos en comparación con el resto de cuadro que apenas se aprecian. No obstante conseguimos una colección más que suficiente para poder elegir.

Por parejas, debían integrar el cuadro en el applet de Geogebra y hacer que el reloj funcionase. Previamente tendrían que “retocar” el cuadro para poder eliminar las manecillas y colocar las elaboradas con Geogebra. La construcción del reloj es sencilla: dos circunferencias sobre las que se mueven los extremos de las manecillas, que son dos vectores. Para asignar el movimiento se han seguido dos caminos: uno animar los extremos de las saetas y controlar la velocidad de la animación y el otro mover las saetas por medio del ángulo que forman con una línea de referencia. En cualquiera de los dos casos, los relojes, después de muchas pruebas, han funcionado.

Con ellos hemos grabado un video en el que se han acelerado las velocidades. Hay que señalar que en uno de los cuadros, “La place San Giacometto” de Canaletto, el reloj seleccionado por el alumno constaba de 24 divisiones, muy particulares, ya que el número 1 se sitúa a las 3 de nuestros relojes y además no tiene agujas.

 

Mar 14 2017

3-14-17: Día de Pi

Mar 06 2017

Puzzles de áreas

Cada semana propongo a mis alumnos un desafío. Son muy variados y procuro ir salteando tipos de contenidos distintos. Internet es de gran ayuda para la búsqueda de nuevas propuestas y formatos. Es el caso de los Area Maze  o Puzzles de áreas. Los comenzó a crear el japonés Nooki Inaba,  y su popularidad ha ido creciendo, tras la publicación en The Guardian de un artículo dedicado a ellos, en el que se explican en un breve video.

 

En la actualidad se ha publicado en España un libro que recoge algunos de ellos para niños (Rompecabezas lógicos de áreas MENSEKI MEIRO para niños). Puedes encontrar una colección de sitios en los que aparecen estos puzzles en este enlace, así como una versión digital en este otro. También hay una app para móviles que propone este tipo de retos.

La peculiaridad de esta propuesta es que hay que encontrar el valor de lo que se pide (puede ser un segmento o un área) utilizando nada más que números enteros. Esta semana el desafío con el que reté a mis alumnos fue este:

No resulta de una excesiva complejidad, pero me ha sorprendido que me han entregado cinco formas distintas de resolverlo. Algunas son similares pero incluyen matices que las hacen diferentes.

Iván ha prolongado los lados que quedan en el interior y ha ido descomponiendo en rectángulos más pequeños los dados, buscando sus áreas. El objetivo era encontrar el área del rectángulo estrecho que forma parte del buscado (que él ha señalado como área 4). Sara ha perseguido el mismo fin, aunque ha llegado por un camino un poco diferente.

 

 

Óscar y Javier (con algún fallo en la escritura), aunque han comenzado como Sara, han continuado por otro camino:

Por último, Alejandro ha utilizado la figura completada, es decir, ha añadido los rectángulos de los que solo hay dos lados en los extremos y eso le ha servido para llegar a la solución.

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