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May 15 2016

Raíz cuadrada

Un amigo me pasó hace poco este video:

 

En él se explica un método para calcular la raíz cuadrada de un número por aproximación, el método  babilonio. Se trata de ir ajustando rectángulos de área el número propuesto,  para conseguir un cuadrado. Partiendo de un rectángulo de esa área, para la siguiente iteración se toma la semisuma de los lados como nuevo lado del siguiente rectángulo y se busca el valor del otro y así sucesivamente.

Me puse a visualizarlo realizando el proceso con Geogebra y se consigue una buena aproximación al resultado con muy pocos pasos. ¿Con qué número comenzamos la primera iteración? Por mantener el criterio de ir diviendo entre dos la suma de los lados, elegí la mitad del número propuesto como valor inicial. Probé con otros y da mejor resultado el valor medio.

 

 

El aplet se puede ver en este enlace.

En la columna A se van calculando los valores de uno de los lados del rectángulo. En A1:k/2. En B1 se calcula cuanto valdrá el otro lado del rectángulo para que el área sea k. En este primer paso es claro que 2.

A continuación se calcula A2 como la semisuma de A1 y B1, y en B2 calculamos el lado del rectángulo de área k cuyo otro lado es A2, y así sucesivamente.

En la columna C se dibujan los rectángulos de lados A1 y B1, A2 y B2, etc.

Si el número de partida en A1 está cercano al valor de la raíz, la convergencia es, obviamente, mucho más rápida.

Los vértices superiores de la derecha de cada uno de los rectángulos se corresponden con puntos de la función y=k/x. El punto que dará la solución, o sea el valor de la raíz cuadrada, será aquel cuyas dos coordenadas sean iguales (tendremos entonces el cuadrado) y ese punto pertenecerá a la recta y=x.

Es decir el valor de la raíz cuadrada de k se obtendrá en la intersección de las gráficas de y=k/x e y=x

 

 

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