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Mar 22 2017

Perdices, pichones y gorriones

Les propuse a mis alumnos este problema  seleccionado del libro Fibonacci y los problemas del Liber Abaci de Alberto Ugarte. 

 

Un hombre compra 30 pájaros entre perdices, pichones y gorriones. Se gasta 30 denarios. Si una perdiz cuesta 3 denarios, un pichón 2 y dos gorriones 1 denario, ¿cuántos pájaros compró el hombre de cada tipo?

 

El impulso de los alumnos les conduce al álgebra. Llamar x al número de perdices, y al de pichones y z al de gorriones, les permite plantear las ecuaciones

x+y+z=30

3x+2y+0,5z=30

y darse cuenta de que necesitan otra ecuación. Hay quienes tratan de buscarla amparados en la casualidad de que coinciden los segundos miembros de ambas ecuaciones, sin percatarse de que esa nueva ecuación no les aporta nada nuevo. Con el sistema con tres ecuaciones, se ponen a resolverlo y llegan de nuevo a dos ecuaciones con tres incógnitas y entonces empiezan a pensar de otra manera. Parece que aquí hay más de una solución posible, al menos, en principio.

Hay quienes deciden probar y sin explicar muy bien cómo organizan esos intentos llegan a la solución correcta: 3 perdices, 5 pichones y 22 gorriones. Otros como Ángela,  siguen por la línea algebraica y consiguen escribir una de las incógnitas en función de otra:

\large x=6-\frac{3}{5}y

lo que les permite concluir que  y solo puede tomar el valor 5, ya que x ha de ser entero positivo y de ahí z deberá ser 22.

Hasta aquí era lo esperado, pero afortunadamente, a veces te encuentras con procesos inesperados y muy satisfactorios.

Es el caso de Andrea, que despeja x e y en función de z (como antes), pero luego va imponiendo condiciones sobre los posibles valores de las incógnitas (no puede comprar más de 10 perdices con 30 denarios, o más de 15 pichones con los mismos 30 denarios, y por supuesto las soluciones han de ser positivas) y acotando las posibles soluciones. Pongo una fotografía de su explicación que es bastante clara:

No ha tenido en cuenta el matiz de que en el enunciado ya se dice que compra de los tres tipos de aves por lo que no hay que considerar los casos en los que alguna de las incógnitas valgan 0.

Por su parte Elena, ha seguido un proceso basado en uno que encontró en uno de los capítulos de El hombre que calculaba, lectura llevada a cabo en el primer trimestre de este curso. Argumenta de la siguiente forma:

“Como hay tres tipos de pájaros voy a suponer que dedica 10 denarios a cada uno de los tipos. De esta manera con 10 denarios puede comprar 3 perdices y le sobra una moneda, con otros 10 puede comprar 5 pichones y no le sobra nada y con los 10 denarios restantes 20 gorriones y tampoco le sobra ninguno. Con este reparto ha comprado 3 + 5 + 20 = 28 aves y le sobra un denario, que lo invierte en dos gorriones más y así llega a tener los 30 pájaros y gastar los 30 denarios.”

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