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Abr 20 2016

Círculos con en-Cantor

Partiendo de un círculo de radio R,  aplicamos la construcción del conjunto de Cantor al diámetro y en cada segmento que se suprime se dibuja un círculo. Obtenemos la siguientes figuras:

   

    

¿Qué fracción de la superficie del círculo original queda pintada de azul si se repite el proceso indefinidamente?

Partimos de un círculo de radio R, por tanto diámetro 2R. Se divide este en tres partes y sobre la tercera, de radio R/3, se construye un círculo y se repite el proceso con los segmentos que van quedando del diámetro original.  El área de los círculos que se van suprimiendo en cada uno de los pasos será:

Y en el paso n-ésimo:  

 

De manera que en total el área que se suprime es la suma de todas las áreas anteriores, que no es más que la suma infinita de una serie geométrica.

 

Volviendo a la parte gráfica, dibujamos un círculo de radio R, y construimos siguiendo el procedimiento de la espiral de Teodoro, el segmento de longitud raíz de siete, que lo dividimos en siete partes:

Dibujamos el círculo de centro A y radio hasta la primera de las siete partes:

Y sobre esta corona circular, utilizando uno de los procedimientos comentados en la entrada “Corona circular” de este blog, permite dibujar el círculo con la misma área que la corona que representa los seis séptimos del círculo original.


Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;

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