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Dic 28 2016

Tablas de multiplicar III

En entradas precedentes planteamos una forma de visualizar las tablas de multiplicar ayudándonos de este applet realizado con Geogebra:

Vamos a detenernos en algunas configuraciones e intentar encontrar alguna propiedad o relación entre ellas.

En el caso de que N (número de puntos) sea igual a t (tabla de multiplicar), la configuración obtenida es radial ya que cualquier múltiplo de N (los resultados de la tabla de multiplicar) es congruente con 0 módulo N.

50-50

 

Si  t = N-1, la configuración obtenida está formada por segmentos paralelos que unen un punto k con su complementario módulo N, N-k. En el ejemplo, los segmentos enlazan 1 con 49, 2 con 48, 3 con 47, etc.

50-49Esto ocurre porque (N-1)k es congruente con (N-k) módulo N   ya que  (N-1)k -(N-k) = N(k-1). es decir, es múltiplo de N.

Explorando las distintas imágenes que aparecen, llaman la atención aquellas que de cada punto solo sale y llega un segmento o ninguno. Siguiendo la explicación que ofrece Mickael Läuney en el video que comentamos en una entrada anterior sobre este asunto, estas configuraciones aparecen porque cada número al multiplicarlo por el de la tabla dos veces consecutivas, vuelve al mismo punto. Por tanto es como si se multiplicase por 1.

15-4Por ejemplo en la imagen de la izquierda, que se corresponde a una tabla del  4 sobre 15 puntos:

Observamos que el punto 3 está unido al 12, lo que quiere decir que 3 x 4=12 y también que 12 x 4=48 al dividirlo entre 15 nos da de resto 3, es decir el punto 12 al multiplicarlo por 4 vuelve al 3.

3 x 4 x 4 = 48 congruente con 3 módulo 15.

En aquellos puntos en los que no hay segmento como en el 5, lo que ocurre es  que  4 x 5 = 20 que al dividirlo entre 15 da de resto 5, o sea vuelve al mismo punto.

Por tanto,  si estamos en la tabla de t con N puntos sobre la circunferencia, se cumple que


¿Esto ocurre para cualquier valor de N y de t? Obviamente no. Buscamos pues aquellas situaciones en las que esto ocurra para intentar encontrar alguna relación.

Ayudándonos de la hoja de cálculo, tratamos de encontrar dichos valores. En la primera fila colocamos los valores posibles de N y hacemos lo mismo en la primera columna con los posibles valores de t. La segunda columna se completa con el cuadrado de t y en todas las demás celdas se calcula el resto de hacer la división entre t2  y  N. Señalamos aquellos que da como resultado 1, y a partir de ahí comenzamos a investigar.

tabla24x24

Lo primero que se observa es que para cualquier N siempre aparecen un número par de celdas con el número 1, y se cumple que se forman parejas que suman el número de puntos. Por ejemplo, si N=12,  las tablas son las del 5 y la del 7. Si N es  24, las tablas 5 y 19, 7 y 17, 11 y 13.

De todas las señaladas las que se corresponden a un número de puntos múltiplo de 4 (N=4k), ofrecen una configuración de retícula cuadrada para la tabla de la forma t=2k-1  y aparece una configuración radial para la tabla t=2k+1. Algunos ejemplos:

12-5

N = 12 y t = 5

12-7

N = 12 y t = 7

16-7

N =16 y t = 7

N =16 y t = 9

N =16 y t = 9

N =20 y t = 9

N =20 y t = 9

N =20 y t =11

N =20 y t =11

 

N =24 y t = 11

N =24 y t = 11

24-13

N =24 y t = 13

N =400 y t = 199

N =400 y t = 199

N =400 y t = 201

N =400 y t = 201

 

El resto de las retículas que se corresponden a esta situación tiene segmentos oblicuos. Si N es múltiplo de 8 se pueden encontrar hasta 6 configuraciones, para otros valores de N se puede llegar a 14. La hoja de cálculo ayuda a explorar el número y a encontrarlas.

 

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