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Ene 29 2017

Proporción cordobesa

La relación que existe entre el radio y el lado  de un octógono regular se conoce con el nombre de proporción cordobesa o número cordobés. Su valor decimal es c= 1,30656…

cordobesa

 

Aunque se puede expresar de forma más precisa con la expresión radical c=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}

cordobesa1

O la expresión trigonométrica c= \sqrt{2}cos22^{\circ} 30.

 

cordobesa2

 

O de forma más sencilla por la propia definición del seno aplicado en el triángulo del dibujo:

 

 

\displaystyle\ \frac{l}{r}=2sen\frac{\pi}{8}

 

\displaystyle\ c=\frac{r}{l}=\frac{1}{2}cosec\frac{\pi}{8}

 

 

 

Si queremos construir un rectángulo con esas proporciones basta hacer esto:

 

cordobesa3

 

¿Y cómo dividimos un segmento dado en la proporción cordobesa? Aquí se muestra un sencillo y rápido método.

Se dibuja desde un extremo A un ángulo de 45º y desde el otro, B,  un ángulo de 33,75º. La distancia desde A hasta C (punto en el que se cortan los segmentos anteriores) se lleva sobre AB y obtendremos la partición del segmento en proporción cordobesa.

cordobesa4

 

Vamos a justificar la construcción. Partimos de un segmento AB, y buscamos un punto D en el segmento tal  que la relación entre AD y DB sea la proporción cordobesa. Por la propia definición del número cordobés como relación entre el radio y el lado de un octógono, la división de AD entre CD es precisamente ese número. Ello quiere decir que el triángulo BCD es isósceles pues CD y DB son iguales. Por otro lado, el ángulo ADC mide 67º 30′ ya que ACD es isósceles y  el ángulo ADC mide 45º.  Así pues uniendo ambos resultados, obtenemos que el ángulo DBC ha de medir la mitad de ADC, o sea 33º 45′. Con lo cual se comprueba que la construcción es correcta.

cordobesa5

Quizá el ángulo 33,75º resulte un poco caprichoso, pero su construcción solo necesita de dibujar tres bisectrices partiendo de un ángulo recto. La primera nos determina el ángulo de 45º, la segunda el de 22,5º y por último se biseca el ángulo que forman las dos bisectrices anteriores y conseguimos el ángulo buscado.

cordobesa6

 


Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.

 

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