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Dic 04 2010

Conjuntos de Sidón

La Teoría de Números es un campo de las Matemáticas muy especializado en el que se trabaja buscando propiedades y relaciones en conjuntos de números. Uno de estos casos es el conjunto de Sidon, llamado así en honor al matemático húngaro Simon Sidon que, en 1932 planteó a uno de sus alumnos, Paul Erdös, el siguiente problema:
 

¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos?

Un conjunto de estos puede ser {2, 3, 7, 11, 34} pues todas las posibles sumas dan resultados distintos. (2+3=5 ; 2+7=9; 2+11=13; 2+34=36; 3+7=10; 3+11=14; 3+34=38; 7+11=18;7+34=41; 11+34=45). A este tipo de conjuntos se les llama conjuntos de Sidon.

Paul Erdös resolvió el problema, pero se buscó una generalización del mismo: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o tres sumas iguales…) Este problema, lo han resuelto tres matemáticos, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa e Imre Ruzsa, dos de ellos españoles, según se recoge en esta noticia de El PAIS del día 1 de diciembre de 2010.  También encontrarás información en este enlace. Y si quieres, puedes  leer un artículo publicado de Javier Cilleruelo, en la Gaceta Matemática de la RSME de 2008,  sobre este tema.

 

 
La condición de ser conjunto de Sidon en N2 es equivalente a no contener cuatro puntos que formen un paralelogramo. Resultados sobre el problema en dos dimensiones se utilizan en el diseño de radares.
 
 

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